자연수 n에 대하여 두 함수 f(x), g(x)를
f(x)=xn+2−3(3n+1−1), g(x)=3n+1(n+2)(x−3) 이라 하자. 다음은 x≥3인 모든 실수 x에 대하여 부등식 f(x)>g(x)가 성립함을 증명하는 과정이다.
함수 h(x)를 h(x)=f(x)−g(x)라 하면
h(x)는 (n+2)차 다항함수이다.
h′(x)=(n+2)×((가)) x>3에서 h′(x)>0이므로
함수 h(x)는 증가한다.
x≥3에서 h(x)의 최솟값은 (나)
x≥3에서 h(x)≥(나)>0이므로
f(x)−g(x)>0
따라서 x≥3인 모든 실수 x에 대하여 부등식 f(x)>g(x)가 성립한다.
위의 (가)에 알맞은 식을 A(x), (나)에 알맞은 수를 p라 할 때, n→∞lim4np×A(4)의 값은? [4점]
