2007학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 나형 28번

$1$보다 큰 두 수 $A$, $B$에 대하여 $\log A$의 지표와 가수는 각각 $m$, $\alpha$이고 $\log B$의 지표와 가수는 각각 $n$, $\beta$일 때, 점 $\mathrm P$, $\mathrm Q$의 좌표를 $\mathrm P(m,\ n)$, $\mathrm Q(\alpha,\ \beta)$라 하자. 점 $\mathrm P$는 곡선 $y=\dfrac{16}x\ (x>0)$ 위에 있고 점 $\mathrm Q$는 직선 $y=-x+1$ 위에 있을 때, $AB$의 최대값과 최소값의 곱이 $10^k$이다. 실수 $k$의 값을 구하시오. [4점]