2019학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 나형 20번

그림과 같이 길이가 $2$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하고 중심이 $\mathrm O$인 반원이 있다.

호 $\mathrm{AB}$ 위에 점 $\mathrm P$를 $\cos(\angle\mathrm{BAP})=\dfrac45$가 되도록 잡는다.

부채꼴 $\mathrm{OBP}$에 내접하는 원의 반지름의 길이가 $r_1$, 호 $\mathrm{AP}$를 이등분하는 점과 선분 $\mathrm{AP}$의 중점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 반지름의 길이가 $r_2$일 때, $r_1r_2$의 값은? [4점]