2007학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 17번

한 변의 길이가 $8$인 정사각형 $\mathrm{D}_1$이 있다.

그림과 같이 정사각형 $\mathrm{D}_1$의 네 변에 접하며 중심각의 크기가 $\dfrac32\pi$인 부채꼴로 만든 원뿔의 부피를 $V_1$,

남은 정사각형 $\mathrm{D}_2$의 네 변에 접하며 중심각의 크기가 $\dfrac32\pi$인 부채꼴로 만든 원뿔의 부피를 $V_2$,

남은 정사각형 $\mathrm{D}_3$의 네 변에 접하며 중심각의 크기가 $\dfrac32\pi$인 부채꼴로 만든 원뿔의 부피를 $V_3$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 만들어진 원뿔의 부피를 $V_n$이라 할 때, $\sum\limits_{n=1}^\infty V_n$의 값은? (단, 부채꼴로 원뿔을 만들 때, 겹쳐지는 부분은 없도록 한다.) [4점]