2023학년도 대학수학능력시험 수학 영역 기하 30번

좌표공간에 정사면체 $ABCD$가 있다. 정삼각형 $BCD$의 외심을 중심으로 하고 점 $B$를 지나는 구를 $S$라 하자. 구 $S$와 선분 $AB$가 만나는 점 중 $B$가 아닌 점을 $P$, 구 $S$와 선분 $AC$가 만나는 점 중 $C$가 아닌 점을 $Q$, 구 $S$와 선분 $AD$가 만나는 점 중 $D$가 아닌 점을 $R$라 하고, 점 $P$에서 구 $S$에 접하는 평면을 $\alpha$라 하자. 구 $S$의 반지름의 길이가 $6$일 때, 삼각형 $PQR$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이는 $k$이다. $k^2$의 값을 구하시오. [4점]