다음은 곡선 y=21x2 (0≤x≤2)과 두 직선 y=2x, x=2로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 과정이다.
두 함수 f(x)와 g(x)를 f(x)=21x2, g(x)=2x라 하자.
그림과 같이 닫힌 구간 [0,2]를 n등분하여 구간
[0,n2], [n2,n4], [n4,n6], ⋯, [n2n−2,2] 를 얻는다.
각 구간에서 가로의 길이가 n2이고 구간의 오른쪽 끝점에서의 두 함숫값의 차를 세로의 길이로 하는 직사각형을 만든다. 왼쪽에서 k번째 직사각형의 넓이를 Sk라 하면
Sk=n28k−(가)×k2 직사각형 n개의 넓이의 합은
k=1∑nSk=k=1∑n(n28k−(가)×k2)=n4(n+1)−(나) 구하는 도형의 넓이는 n→∞lim∑k=1nSk=38
위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 p(n), q(n)이라 할 때, p(2)×q(3)의 값은? [4점]
