2006학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수리 영역 나형 17번

그림과 같이 원점과 점 $\mathrm A_0(0,12)$를 지름의 양 끝점으로 하는 원의 오른쪽 반원을 $D_1$이라 하자. 원점을 지나고 기울기가 $1$인 직선이 $D_1$과 제1사분면에서 만나는 점을 $\mathrm A_1$, 점 $\mathrm A_1$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm B_1$이라 하고, 반원 $D_1$, $x$축, 선분 $\mathrm A_1\mathrm B_1$으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_1$이라 하자.

선분 $\mathrm A_1\mathrm B_1$을 지름으로 하는 원의 오른쪽 반원을 $D_2$라 하자. 점 $\mathrm B_1$을 지나고 기울기가 $1$인 직선이 $D_2$와 제1사분면에서 만나는 점을 $\mathrm A_2$, 점 $\mathrm A_2$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm B_2$라 하고, 반원 $D_2$, $x$축, 선분 $\mathrm A_2\mathrm B_2$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 도형의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}S_n$의 값은? [4점]

참고 그림 · 출처: https://t1.daumcdn.net/cfile/tistory/994887345AE2500222