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좌표평면에서 한 변의 길이가 444인 정육각형 ABCDEF\mathrm{ABCDEF}ABCDEF의 변 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}P가 있고, 점 C\mathrm{C}C를 중심으로 하고 반지름의 길이가 111인 원 위를 움직이는 점 Q\mathrm{Q}Q가 있다.두 점 P, Q\mathrm{P},\,\mathrm{Q}P,Q와 실수 kkk에 대하여 점 X\mathrm{X}X가 다음 조건을 만족시킬 때, ∣CX→∣\left|\overrightarrow{\mathrm{CX}}\right|CX의 값이 최소가 되도록 하는 kkk의 값을 α\alphaα, ∣CX→∣\left|\overrightarrow{\mathrm{CX}}\right|CX의 값이 최대가 되도록 하는 kkk의 값을 β\betaβ라 하자.
(가) CX→=12CP→+CQ→\overrightarrow{\mathrm{CX}}=\dfrac12\overrightarrow{\mathrm{CP}}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}}CX=21CP+CQ
(나) XA→+XC→+2XD→=kCD→\overrightarrow{\mathrm{XA}}+\overrightarrow{\mathrm{XC}}+2\overrightarrow{\mathrm{XD}}=k\overrightarrow{\mathrm{CD}}XA+XC+2XD=kCD
α2+β2\alpha^2+\beta^2α2+β2의 값을 구하시오. [4점]
