2014학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 B형 19번

그림과 같이 좌표평면에 원 $C_1:(x-1)^2+y^2=1$과 점 $\mathrm{A}(2,0)$이 있다. 원 $C_1$의 중심을 $O_1$이라 하고, 선분 $O_1\mathrm{A}$를 지름으로 하는 원을 $C_2$라 하자. 원 $C_2$의 중심을 $O_2$라 하고, 선분 $O_2\mathrm{A}$를 지름으로 하는 원을 $C_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 원을 $C_n$이라 하자. 점 $\mathrm{B}(-1,0)$에서 원 $C_n$에 그은 접선의 기울기를 $a_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}2^na_n$의 값은? (단, $a_n>0$이다.) [4점]