2016학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 15번

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$인 정사각형 $A_1B_1C_1D_1$이 있다. 네 변 $A_1B_1$, $B_1C_1$, $C_1D_1$, $D_1A_1$을 각각 지름으로 하는 반원을 정사각형 $A_1B_1C_1D_1$의 외부에 그려 만들어진 $4$개의 호로 둘러싸인 도형을 $E_1$이라 하자.

네 변 $D_1A_1$, $A_1B_1$, $B_1C_1$, $C_1D_1$의 중점 $P_1,Q_1,R_1,S_1$을 꼭짓점으로 하는 정사각형을 그리고 도형 $E_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 $4$개의 호로 둘러싸인 도형을 $F_1$이라 하자. 도형 $E_1$의 내부와 도형 $F_1$의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $G_1$이라 하자.

그림 $G_1$에 네 변 $P_1Q_1$, $Q_1R_1$, $R_1S_1$, $S_1P_1$의 중점 $A_2,B_2,C_2,D_2$를 꼭짓점으로 하는 정사각형을 그리고 도형 $E_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 새로 만들어지는 $4$개의 호로 둘러싸인 도형을 $E_2$라 하자. 네 변 $D_2A_2$, $A_2B_2$, $B_2C_2$, $C_2D_2$의 중점 $P_2,Q_2,R_2,S_2$를 꼭짓점으로 하는 정사각형을 그리고 도형 $E_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 새로 만들어지는 $4$개의 호로 둘러싸인 도형을 $F_2$라 하자. 그림 $G_1$에 도형 $E_2$의 내부와 도형 $F_2$의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $G_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $G_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $T_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}T_n$의 값은? [4점]