2010학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 미분과 적분 30번

밑면의 지름의 길이가 $8$이고 높이가 $6\pi$인 원기둥이 있다. 그림과 같이 평행한 두 선분 $AB$와 $DC$는 서로 다른 두 밑면의 지름이고, 두 선분 $DA$와 $AB$는 수직이다.

점 $P$가 매초 $\pi$의 일정한 속력으로 원기둥의 옆면을 따라 점 $A$에서 출발하여 선분 $CB$ 위의 점을 지나 점 $D$까지 최단거리로 움직인다. 점 $P$에서 선분 $AB$를 포함하는 밑면에 내린 수선의 발을 $H$라 하고, 삼각형 $PAH$의 넓이를 $S$라 하자.

점 $P$가 점 $A$에서 출발한 지 $5$초가 되는 순간, 넓이 $S$의 시간(초)에 대한 변화율은 $\frac qp\pi$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$, $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]