2023학년도 3월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 15번

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=a$($4<a<8$), $\overline{\mathrm{BC}}=8$인 직사각형 $\mathrm{ABCD}$가 있다. 점 $\mathrm B$를 중심으로 하고 점 $\mathrm A$를 지나는 원이 선분 $\mathrm{BC}$와 만나는 점을 $\mathrm P$, 점 $\mathrm C$를 중심으로 하고 점 $\mathrm P$를 지나는 원이 선분 $\mathrm{CD}$와 만나는 점을 $\mathrm Q$라 하자. 사각형 $\mathrm{APQD}$의 넓이가 $\frac{79}4$일 때, $a$의 값은? [4점]