2013학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 B형 16번

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$인 정사각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1\mathrm D_1$이 있다.

두 선분 $\mathrm B_1\mathrm C_1$, $\mathrm C_1\mathrm D_1$의 중점을 각각 $\mathrm E_1$, $\mathrm F_1$이라 하고, 두 선분 $\mathrm A_1\mathrm E_1$과 $\mathrm A_1\mathrm C_1$이 선분 $\mathrm B_1\mathrm F_1$과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm G_1$, $\mathrm B_2$라 하자. 이때, 세 삼각형 $\mathrm A_1\mathrm G_1\mathrm B_2$, $\mathrm B_1\mathrm E_1\mathrm G_1$, $\mathrm C_1\mathrm F_1\mathrm B_2$의 넓이의 합을 $S_1$이라 하자.

점 $\mathrm B_2$를 지나고 선분 $\mathrm A_1\mathrm B_2$에 수직인 직선과 선분 $\mathrm C_1\mathrm D_1$이 만나는 점을 $\mathrm C_2$라 하자. 점 $\mathrm C_2$를 지나고 선분 $\mathrm B_2\mathrm C_2$에 수직인 직선과 선분 $\mathrm A_1\mathrm D_1$이 만나는 점을 $\mathrm D_2$라 하고, 점 $\mathrm D_2$에서 선분 $\mathrm A_1\mathrm B_2$에 내린 수선의 발을 $\mathrm A_2$라 하자. 정사각형 $\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2\mathrm D_2$에서 두 선분 $\mathrm B_2\mathrm C_2$, $\mathrm C_2\mathrm D_2$의 중점을 각각 $\mathrm E_2$, $\mathrm F_2$라 하고, 두 선분 $\mathrm A_2\mathrm E_2$와 $\mathrm A_2\mathrm C_2$가 선분 $\mathrm B_2\mathrm F_2$와 만나는 두 점을 각각 $\mathrm G_2$, $\mathrm B_3$이라 하자. 이때, 세 삼각형 $\mathrm A_2\mathrm G_2\mathrm B_3$, $\mathrm B_2\mathrm E_2\mathrm G_2$, $\mathrm C_2\mathrm F_2\mathrm B_3$의 넓이의 합을 $S_2$라 하자.

점 $\mathrm B_3$을 지나고 선분 $\mathrm A_2\mathrm B_3$에 수직인 직선과 선분 $\mathrm C_2\mathrm D_2$가 만나는 점을 $\mathrm C_3$이라 하자. 점 $\mathrm C_3$을 지나고 선분 $\mathrm B_3\mathrm C_3$에 수직인 직선과 선분 $\mathrm A_2\mathrm D_2$가 만나는 점을 $\mathrm D_3$이라 하고, 점 $\mathrm D_3$에서 선분 $\mathrm A_2\mathrm B_3$에 내린 수선의 발을 $\mathrm A_3$이라 하자. 정사각형 $\mathrm A_3\mathrm B_3\mathrm C_3\mathrm D_3$에서 두 선분 $\mathrm B_3\mathrm C_3$, $\mathrm C_3\mathrm D_3$의 중점을 각각 $\mathrm E_3$, $\mathrm F_3$이라 하고, 두 선분 $\mathrm A_3\mathrm E_3$과 $\mathrm A_3\mathrm C_3$이 선분 $\mathrm B_3\mathrm F_3$과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm G_3$, $\mathrm B_4$라 하자. 이때, 세 삼각형 $\mathrm A_3\mathrm G_3\mathrm B_4$, $\mathrm B_3\mathrm E_3\mathrm G_3$, $\mathrm C_3\mathrm F_3\mathrm B_4$의 넓이의 합을 $S_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 세 삼각형 $\mathrm A_n\mathrm G_n\mathrm B_{n+1}$, $\mathrm B_n\mathrm E_n\mathrm G_n$, $\mathrm C_n\mathrm F_n\mathrm B_{n+1}$의 넓이의 합을 $S_n$이라 할 때, $\sum\limits_{n=1}^\infty S_n$의 값은? [4점]