1부터 6까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 6개의 공이 주머니에 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 1개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 3번 반복할 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 차례로 x1, x2, x3이라 하고, 이 세 수 x1, x2, x3 중에서 최댓값과 최솟값의 차를 확률변수 X라 하자. 예를 들어 P(X=1)=365이다. 다음은 확률변수 X의 평균 E(X)를 구하는 과정의 일부이다.
세 수 x1, x2, x3을 순서쌍 (x1,x2,x3)과 같이 나타내자. 세 수 x1, x2, x3 중에서 최댓값을 p, 최솟값을 q라 하고 p−q=k라 하자.
(1) k=0일 때
순서쌍 (x1,x2,x3)의 개수는 (가 )이고,
P(X=0)=631×(가 ) (2) k=0일 때
ⅰ) k=1을 만족시키는 순서쌍 (x1,x2,x3)의 개수는
5×(2!3!+2!3!) 이다.
ⅱ) k=2를 만족시키는 순서쌍 (x1,x2,x3)의 개수는
4×(2!3!+2!3!+3!) 이다.
그러므로 1≤k≤5일 때, 순서쌍 (x1,x2,x3)의 개수는
(6−k)×{2!3!+2!3!+((나 ))×3!} 이고
P(X=k)=631×(6−k)×{2!3!+2!3!+((나 ))×3!} (1), (2)에 의하여 확률변수 X의 평균 E(X)는 다음과 같다.
E(X)=k=0∑5{k×P(X=k)}=621k=1∑5((다 ))=1235 위의 (가)에 알맞은 수를 a라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 f(k), g(k)라 할 때, af(5)×g(3)의 값은? [4점]
