2010학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 16번

그림과 같이 곡선 $y=x^2$ 위의 점 $(-1,1)$, $(0,0)$, $(1,1)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 $A_1$이라 하자.

곡선 $y=x^2$ 위의 점 $(-2,4)$, $(-1,1)$, $(0,0)$, $(1,1)$, $(2,4)$를 꼭짓점으로 하는 오각형을 $A_2$라 하자.

곡선 $y=x^2$ 위의 점 $(-3,9)$, $(-2,4)$, $(-1,1)$, $(0,0)$, $(1,1)$, $(2,4)$, $(3,9)$를 꼭짓점으로 하는 칠각형을 $A_3$이라 하자.

이와 같은 방법으로 $n$번째 얻은 다각형 $A_n$은 곡선 $y=x^2$ 위의 점 $(-n,n^2)$, $(-n+1,(n-1)^2)$, $\cdots$, $(-1,1)$, $(0,0)$, $(1,1)$, $\cdots$, $(n-1,(n-1)^2)$, $(n,n^2)$을 꼭짓점으로 하는 다각형이다. 다각형 $A_n$의 넓이를 $a_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{n^3}$의 값은? [4점]