2017학년도 6월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 20번

그림과 같이 두 현 $\mathrm{AP}$, $\mathrm{BP}$의 중점을 각각 $\mathrm Q$, $\mathrm R$라 하고 선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm C$라 하면 삼각형 $\mathrm{PQCR}$는 직사각형이다.

$\overline{\mathrm{PQ}}=a$, $\overline{\mathrm{PR}}=b$라 하면 $a^2+b^2=\boxed{\text{(가)}}$이다.

원 $O_1$의 반지름의 길이를 $r_1$, 원 $O_2$의 반지름의 길이를 $r_2$, 원 $O$의 반지름의 길이를 $r$라 하면 $\overline{\mathrm{CQ}}=5-2r_1$, $\overline{\mathrm{CR}}=5-2r_2$이다.

이때 $\overline{\mathrm{CQ}}=\overline{\mathrm{PR}}$, $\overline{\mathrm{CR}}=\overline{\mathrm{PQ}}$이므로

이다. 한편, 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같으므로 $(2a-r)+(2b-r)=2\times\boxed{\text{(나)}}$이다. 따라서

이다. 그러므로 세 원 $O_1$, $O_2$, $O$의 넓이의 합은

이다. $a+b=t$ ($5<t\le5\sqrt2$)라 하면 식 ①은

이므로 세 원 $O_1$, $O_2$, $O$의 넓이의 합의 최솟값은 $\frac{75}{16}\pi$이다.