2023학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 15번

$-\dfrac32\pi\le x\le\dfrac32\pi$에서 정의된 함수 $f(x)=a\cos\dfrac23x+a\;(a>0)$이 있다. 함수 $y=f(x)$의 그래프가 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm A$, 직선 $y=\dfrac a2$와 만나는 두 점을 각각 $\mathrm B$, $\mathrm C$라 하자. 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 정삼각형일 때, $a$의 값은? [4점]