2012학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 20번

한 변의 길이가 $1$인 정육각형에서 서로 이웃하지 않는 세 변의 중점과 이 정육각형에 외접하는 원의 중심을 각각 연결하여 세 선분을 얻는다. 이 세 선분을 각각 가장 긴 대각선으로 하는 $3$개의 정육각형을 그려서 얻은 모양의 그림을 $H_1$이라 하고, 그림 $H_1$의 넓이를 $S_1$이라 하자.

그림 $H_1$에서 새로 그려진 세 정육각형 내부에 각각 그림 $H_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 그려서 얻은 $3$개의 모양의 그림을 $H_2$라 하고, 그림 $H_2$의 넓이를 $S_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 그려서 얻은 $3^{n-1}$개의 모양의 그림을 $H_n$이라 하고, 그림 $H_n$의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}S_n$의 값은? [4점]