밤띠 1기출문제

2021학년도 6월 모의평가 수학 영역 가형 15번

수열 $\{a_n\}$ 의 일반항은

a_n=(2^{2n}-1)\times2^{n(n-1)}+(n-1)\times2^{-n}

이다. 다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여

\sum_{k=1}^n a_k=2^{n(n+1)}-(n+1)\times2^{-n}\quad\cdots\cdots\ (*)

임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

(i) $n=1$ 일 때, (좌변) $=3$ , (우변) $=3$ 이므로 $(*)$ 이 성립한다.

(ii) $n=m$ 일 때, $(*)$ 이 성립한다고 가정하면

\sum_{k=1}^m a_k=2^{m(m+1)}-(m+1)\times2^{-m}

이다. $n=m+1$ 일 때,

\begin{aligned}\sum_{k=1}^{m+1}a_k&=2^{m(m+1)}-(m+1)\times2^{-m}\\&\quad+(2^{2m+2}-1)\times\boxed{\text{(\char44032 )}}+m\times2^{-m-1}\\&=\boxed{\text{(\char44032 )}}\times\boxed{\text{(\char45208 )}}-\frac{m+2}2\times2^{-m}\\&=2^{(m+1)(m+2)}-(m+2)\times2^{-(m+1)}\end{aligned}

이다. 따라서 $n=m+1$ 일 때도 $(*)$ 이 성립한다.

(i), (ii)에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여

\sum_{k=1}^n a_k=2^{n(n+1)}-(n+1)\times2^{-n}

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(m)$ , $g(m)$ 이라 할 때, $\frac{g(7)}{f(3)}$ 의 값은? [4점]

정답률 –풀이 수 –정답 시 +16 Rating

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