2018학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 30번

$3$보다 큰 자연수 $n$에 대하여 원 $C:x^2+y^2=n$이 있다. 삼차함수 $y=f(x)$가 $x=-1$에서 극대, $x=1$에서 극소이고, 두 점 $(-1,f(-1))$, $(1,f(1))$이 모두 원 $C$ 위에 있을 때, 그림과 같이 원 $C$의 내부는 곡선 $y=f(x)$에 의해 $4$개의 영역 $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$로 나누어진다. 각 영역 $S_k$ $(k=1,2,3,4)$의 내부의 점들 중 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수를 $g_k(n)$이라 할 때, $g_1(n)>g_3(n)$을 만족시키는 $n$의 최솟값은 $a$이다. $a+\{g_1(a)\times g_3(a)\}$의 값을 구하시오. (단, 각 영역은 경계선을 포함하지 않는다.) [4점]