무리함수와 정사각형의 교점

좌표평면에서 자연수 $n$에 대하여 네 점

을 꼭짓점으로 하는 정사각형을 $A_n$이라 하자. 정사각형 $A_n$과 무리함수 $y=k\sqrt{x}$의 그래프가 만나도록 하는 자연수 $k$의 개수를 $a_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{20}a_n$의 값을 구하시오.