서로 다른 두 점에서 만나는 두 곡선
C1:y=x2−2x+2,C2:y=−x2+ax+b 의 한 교점을 P라 하고, 점 P에서 두 곡선 C1, C2에 접하는 직선을 각각 l, m이라 하자.
두 접선 l, m이 서로 수직일 때, 곡선 C2는 두 실수 a, b의 값에 관계없이 일정한 점 Q를 지난다. 다음은 점 Q의 좌표를 구하는 과정이다.
f(x)=x2−2x+2, g(x)=−x2+ax+b라 하고, 두 곡선 C1, C2의 한 교점 P의 x좌표를 t라 하자.
두 접선 l, m이 서로 수직이므로
f′(t)g′(t)=−1에서
4t2−2(a+2)t+(가 )=0…… ㉠ f(t)=g(t)에서
2t2−(a+2)t+2−b=0…… ㉡ ㉠, ㉡에서 b=(나 )−a를 y=−x2+ax+b에 대입하고 a에 관하여 정리하면,
a(x−1)−x2−y+(나 )=0…… ㉢ ㉢에서 x−1=0, −x2−y+(나 )=0을 만족시키는 x와 y의 값을 구하면 점 Q의 좌표는 (1,(다 ))이다.
위의 (가)에 알맞은 식을 h(a)라 하고, (나)와 (다)에 알맞은 수를 각각 α, β라 할 때, h(α)×h(β)의 값은? [4점]
