2005학년도 대학수학능력시험 수리 영역 가형 공통 25번

아래 그림과 같이 한 변의 길이가 $1$인 정사각형에서 한 변의 길이가 $\frac12$인 정사각형을 잘라낸 후 남은 凹 모양의 도형을 $A_1$이라 하자.

한 변의 길이가 $\frac14$인 정사각형에서 한 변의 길이가 $\frac18$인 정사각형을 잘라낸 후 남은 凹 모양의 도형 $2$개를 $A_1$의 위쪽 두 변에 각각 붙인 도형을 $A_2$라 하자.

한 변의 길이가 $\frac1{16}$인 정사각형에서 한 변의 길이가 $\frac1{32}$인 정사각형을 잘라낸 후 남은 凹 모양의 도형 $4$개를 $A_2$의 위쪽 네 변에 각각 붙인 도형을 $A_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 얻은 $n$번째 도형을 $A_n$이라 하고 그 넓이를 $S_n$이라 하자.

$\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\frac qp$라 할 때, $p+q$의 값을 구하시오.

(단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

$A_1$

$A_2$