2024학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 확률과 통계 29번

두 양수 $m,\,\sigma$에 대하여 확률변수 $X$는 정규분포 $\mathrm{N}\left(m,\,1^2\right)$, 확률변수 $Y$는 정규분포 $\mathrm{N}\left(m^2+2m+16,\,\sigma^2\right)$을 따르고, 두 확률변수 $X,\,Y$는

을 만족시킨다. $\sigma$의 값이 최소가 되도록 하는 $m$의 값을 $m_1$이라 하자. $m=m_1$일 때, 두 확률변수 $X,\,Y$에 대하여

를 만족시키는 상수 $k$의 값을 구하시오. [4점]