2019학년도 9월 모의평가 수학 영역 가형 29번

좌표공간에서 점 $\mathrm A\left(3,\frac12,2\right)$와 평면 $z=1$ 위의 세 점 $\mathrm P_1$, $\mathrm P_2$, $\mathrm P_3$이

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP_1}}=\frac{11}3,\quad\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP_2}}=1,\quad\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP_3}}=-\frac74$

을 만족시킨다. 점 $(0,k,0)$을 지나고 방향벡터가 $(1,-6,0)$인 직선을 $l$이라 하고, 직선 $l$에 의해 나누어지는 $xy$평면의 두 영역을 각각 $\alpha$, $\beta$라 하자.

세 점 $\mathrm P_1$, $\mathrm P_2$, $\mathrm P_3$에서 $xy$평면에 내린 수선의 발이 모두 $\alpha$에만 포함되거나 모두 $\beta$에만 포함되도록 하는 양의 정수 $k$의 최솟값을 $m$, 음의 정수 $k$의 최댓값을 $M$이라 할 때, $m-M$의 값을 구하시오. (단, $\mathrm O$는 원점이다.) [4점]