2016학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수학 영역 B형 15번

반지름의 길이가 $2$인 원 $O_1$에 내접하는 정삼각형 $A_1B_1C_1$이 있다. 그림과 같이 직선 $A_1C_1$과 평행하고 점 $B_1$을 지나지 않는 원 $O_1$의 접선 위에 두 점 $D_1$, $E_1$을 사각형 $A_1C_1D_1E_1$이 직사각형이 되도록 잡고, 직사각형 $A_1C_1D_1E_1$의 내부와 원 $O_1$의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에 정삼각형 $A_1B_1C_1$에 내접하는 원 $O_2$와 원 $O_2$에 내접하는 정삼각형 $A_2B_2C_2$를 그리고, 그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형 $A_2C_2D_2E_2$를 그리고 직사각형 $A_2C_2D_2E_2$의 내부와 원 $O_2$의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]