이차함수, 연속, 미분, 그리고 적분

이차함수 $f(x)$에 대해, 방정식 $af(t)+t=0$를 만족하는 서로 다른 실수 $t$의 개수를 $g(a)$라고 하자.

음이 아닌 실수 $p$, $q$에 대해 아래와 같은 두 함수는 다음 조건을 만족한다.

$f(0)=-2f'(0)<-1$일 때, $f(0)$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $Mm$의 값을 구하여라.