2006학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 29번

그림과 같이 $x$축 위의 점 $\mathrm A_1(6\pi-12,0)$에 대하여 $\overline{\mathrm{OA}_{1}}$을 지름으로 하는 반원을 제1사분면에 그리고, $\overline{\mathrm{OA}_{1}}=\overgroup{\mathrm{OA}_{2}}$인 점 $\mathrm A_2$를 $y$축 위에 잡아 $\overline{\mathrm{OA}_{2}}$를 지름으로 하는 반원을 제2사분면에 그린다. 또, $\overline{\mathrm{OA}_{2}}=\overgroup{\mathrm{OA}_{3}}$인 점 $\mathrm A_3$을 $x$축 위에 잡아 $\overline{\mathrm{OA}_{3}}$을 지름으로 하는 반원을 제3사분면에 그리고, $\overline{\mathrm{OA}_{3}}=\overgroup{\mathrm{OA}_{4}}$인 점 $\mathrm A_4$를 $y$축 위에 잡아 $\overline{\mathrm{OA}_{4}}$를 지름으로 하는 반원을 제4사분면에 그린다. 같은 방법으로 제1사분면, 제2사분면, $\cdots$에 반원을 계속하여 그려나갈 때, 반원들의 호의 길이의 합 $\sum\limits_{n=1}^\infty\overgroup{\mathrm{OA}_{n}}$의 값은? (단, $\overgroup{\mathrm{OA}_{n}}$은 $\overline{\mathrm{OA}_{n}}$을 지름으로 하는 반원의 호이고 $n=1$, $2$, $3$, $\cdots$이다.) [4점]