2013학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 B형 15번

그림과 같이 $\overline{\mathrm A_1\mathrm B_1}=1$, $\overline{\mathrm A_1\mathrm D_1}=2$인 직사각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1\mathrm D_1$에 대하여 선분 $\mathrm A_1\mathrm D_1$의 중점을 $\mathrm M$이라 하자.

선분 $\mathrm A_1\mathrm D_1$을 지름으로 하는 반원과 선분 $\mathrm A_1\mathrm M$과 선분 $\mathrm M\mathrm D_1$을 각각 지름으로 하는 두 반원을 그려서 얻은 모양의 도형의 둘레의 길이를 $l_1$이라 하자.

선분 $\mathrm M\mathrm B_1$과 선분 $\mathrm M\mathrm C_1$이 선분 $\mathrm A_1\mathrm D_1$을 지름으로 하는 반원과 만나는 점을 각각 $\mathrm B_2$, $\mathrm C_2$라 하고, 점 $\mathrm B_2$와 점 $\mathrm C_2$에서 선분 $\mathrm A_1\mathrm D_1$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm A_2$, $\mathrm D_2$라 하자. 선분 $\mathrm A_2\mathrm D_2$를 지름으로 하는 반원과 선분 $\mathrm A_2\mathrm M$과 선분 $\mathrm M\mathrm D_2$를 각각 지름으로 하는 두 반원을 그려서 새로 얻은 모양의 도형의 둘레의 길이를 $l_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 모양의 도형의 둘레의 길이를 $l_n$이라 할 때, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}l_n$의 값은? [4점]