2019학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 18번

$\overline{\mathrm B_1\mathrm C_1}=8$이고 $\angle\mathrm B_1\mathrm A_1\mathrm C_1=120^\circ$인 이등변삼각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1$이 있다. 그림과 같이 중심이 선분 $\mathrm B_1\mathrm C_1$ 위에 있고 직선 $\mathrm A_1\mathrm B_1$과 직선 $\mathrm A_1\mathrm C_1$에 동시에 접하는 원 $O_1$을 그리고 이등변삼각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1$의 내부와 원 $O_1$의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 원 $O_1$과 선분 $\mathrm B_1\mathrm C_1$이 만나는 점을 각각 $\mathrm B_2$, $\mathrm C_2$라 할 때, 삼각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1$ 내부의 점 $\mathrm A_2$를 삼각형 $\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2$가 $\angle\mathrm B_2\mathrm A_2\mathrm C_2=120^\circ$인 이등변삼각형이 되도록 잡는다. 중심이 선분 $\mathrm B_2\mathrm C_2$ 위에 있고 직선 $\mathrm A_2\mathrm B_2$와 직선 $\mathrm A_2\mathrm C_2$에 동시에 접하는 원 $O_2$를 그리고 이등변삼각형 $\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2$의 내부와 원 $O_2$의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]