한 각이 다른 각의 두 배인 삼각형과 다항함수의 극한

양수 $a$에 대하여 길이가 $a$인 선분 $\mathrm{BC}$가 있다. 양수 $t$에 대하여 $\overline{\mathrm{AB}}=t$, $\angle \mathrm{ABC}=2\angle \mathrm{ACB}$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 존재하도록 하는 $t$의 값의 범위는 양수 $k$에 대하여 $t>k$이다. 이때 선분 $\mathrm{AC}$의 길이를 $f(t)$, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 $S(t)$라 하자. 함수 $f(t)$와 다항함수 $h(t)$가 다음 조건을 만족시킨다.

$t$와 $f(t)$가 모두 자연수이고 $h(t)<\{f(t)\}^3$을 만족시키는 $t$에 대하여, 변 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 할 때 $\overline{\mathrm{AM}}^2$의 값을 구하시오.