다음은 모든 자연수 n에 대하여
6(k=1∑nk)(k=1∑nk2)=5k=1∑nk4+k=1∑nk2⋯⋯(∗) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정의 일부이다.
<증명>
(1) n=1일 때, (좌변)=6×1×12=6이고,
(우변)=5×14+12=6이므로 (∗)이 성립한다.
(2) n=m일 때, (∗)이 성립한다고 가정하면
6(k=1∑mk)(k=1∑mk2)=5k=1∑mk4+k=1∑mk2 이다.
n=m+1일 때, (∗)이 성립함을 보이자.
6(k=1∑m+1k)(k=1∑m+1k2) =6{k=1∑mk+(가)}{k=1∑mk2+(m+1)2} =6(k=1∑mk)(k=1∑mk2)+(가)×{6k=1∑mk2+6(m+1)k=1∑mk+6(m+1)2} =6(k=1∑mk)(k=1∑mk2)+(m+1)2×(나) =5k=1∑m+1k4+k=1∑m+1k2 그러므로 n=m+1일 때도 (∗)이 성립한다.
따라서 모든 자연수 n에 대하여 (∗)이 성립한다.
위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(m), g(m)이라 할 때, f(5)g(10)의 값은? [4점]
