2007학년도 대학수학능력시험 수리 영역 가형 공통 17번

아래와 같이 직각을 낀 두 변의 길이가 $1$인 직각이등변삼각형이 있다. 이 직각이등변삼각형의 빗변에 $2$개의 꼭짓점이 있고, 직각을 낀 두 변에 나머지 $2$개의 꼭짓점이 있는 정사각형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 합동인 $2$개의 직각이등변삼각형의 각 빗변에 $2$개의 꼭짓점이 있고, 직각을 낀 두 변에 나머지 $2$개의 꼭짓점이 있는 $2$개의 정사각형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

그림 $R_2$에서 합동인 $4$개의 직각이등변삼각형의 각 빗변에 $2$개의 꼭짓점이 있고, 직각을 낀 두 변에 나머지 $2$개의 꼭짓점이 있는 $4$개의 정사각형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 모든 정사각형의 넓이의 합을 $S_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]