2003학년도 10월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 7번

$m, n$ 중 적어도 하나가 홀수라고 가정하면

i) $m=2a,n=2b-1$ ($a,b$는 자연수)일 때, $m^2+n^2$을 4로 나누었을 때의 나머지는 $\boxed{\text{(가)}}$이다.

ii) $m=2a-1,n=2b$ ($a,b$는 자연수)일 때, $m^2+n^2$을 4로 나누었을 때의 나머지는 $\boxed{\text{(나)}}$이다.

iii) $m=2a-1,n=2b-1$ ($a,b$는 자연수)일 때, $m^2+n^2$을 4로 나누었을 때의 나머지는 $\boxed{\text{(다)}}$이다.

i), ii), iii)에 의하여 $m^2+n^2$은 4의 배수가 아니다.

이것은 $m^2+n^2$이 4의 배수라는 조건에 모순이다.

따라서, 자연수 $m,n$에 대하여 $m^2+n^2$이 4의 배수이면 $m,n$은 모두 짝수이다.