2021학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 기하 30번

한 변의 길이가 $4$인 정삼각형 $ABC$를 한 면으로 하는 사면체 $ABCD$의 꼭짓점 $A$에서 평면 $BCD$에 내린 수선의 발을 $H$라 할 때, 점 $H$는 삼각형 $BCD$의 내부에 놓여 있다. 직선 $DH$가 선분 $BC$와 만나는 점을 $E$라 할 때, 점 $E$가 다음 조건을 만족시킨다.

삼각형 $AHD$의 평면 $ABD$ 위로의 정사영의 넓이는 $\frac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]