2005학년도 11월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 17번

<증명>

(i) 정수 $x$에 대하여

$x$가 홀수이면 $x^2$은 홀수이고, $2ax+2b$는 짝수이다.

따라서, $x^2=-(2ax+2b)$를 만족하는 홀수 $x$는 존재하지 않는다.

$x$가 짝수이면 $x^2+2ax$는 $2$의 배수이고 $\boxed{\text{(가)}}$이다.

$2b$는 $2$의 배수이지만 $\boxed{\text{(가)}}$가 아니다.

따라서, $x^2+2ax=-2b$를 만족하는 짝수 $x$는 존재하지 않는다.

(ii) 정수가 아닌 유리수 $x$에 대하여

$x^2+2ax+2b=0$을 변형하면 $(x+a)^2=a^2-2b$이고, $(x+a)^2$은 정수가 아닌 유리수이다.

그런데 $a^2-2b$는 $\boxed{\text{(나)}}$이므로 모순이다.

$\therefore$ (i), (ii)에 의하여 $a$, $b$가 홀수일 때, 방정식 $x^2+2ax+2b=0$은 유리수 해를 갖지 않는다.