2003학년도 10월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 18번

무한급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a^n-b^n)$이 수렴하면

이다.

ⅰ) $|a|\ge1$일 때,

$\lim\limits_{n\to\infty}a^n\left\{1-\left(\dfrac ba\right)^n\right\}=0$이므로 $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac ba\right)^n=1$이다.

즉, $\dfrac ba=\boxed{\text{(가)}}$이다.

ⅱ) $|a|<1$일 때,

$\lim\limits_{n\to\infty}(a^n-b^n)=\lim\limits_{n\to\infty}(-b^n)=0$이므로 $\boxed{\text{(나)}}$이다.

따라서, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a^n-b^n)$이 수렴할 조건은 ⅰ), ⅱ)에 의하여

$|a|\ge1$일 때, $\dfrac ba=\boxed{\text{(가)}}$

또는

$|a|<1$일 때, $\boxed{\text{(나)}}$이다.