2016학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 30번

한 변의 길이가 $1$인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$와 점 $\mathrm A$가 중심이고 선분 $\mathrm{AB}$를 반지름으로 하는 원이 있다. 원 위를 움직이는 점 $\mathrm P$에 대하여 사각형 $\mathrm{APQR}$가 정사각형이 되도록 원 위에 점 $\mathrm R$와 원의 외부에 점 $\mathrm Q$를 잡는다.

그림과 같이 선분 $\mathrm{BC}$와 선분 $\mathrm{QR}$가 만나도록 할 때, 선분 $\mathrm{BC}$와 선분 $\mathrm{QR}$의 교점을 $\mathrm I$라 하자. 삼각형 $\mathrm{IQC}$의 둘레의 길이를 $L$, 넓이를 $S$라 할 때, 점 $\mathrm P$가 점 $\mathrm B$에 한없이 가까워지면 $\dfrac{L^2}S$의 값이 $a+b\sqrt2$에 한없이 가까워진다.

$a^2+b^2$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 유리수이다.) [4점]