2013학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수리 영역 나형 12번

한 변의 길이가 $3$인 정삼각형 $AB_1C_1$이 있다. 그림과 같이 선분 $AB_1$과 선분 $AC_1$을 $2:1$로 내분하는 점을 각각 $B_2$, $C_2$라 하고, 선분 $B_2C_2$를 지름으로 하는 원의 호 $B_2C_2$와 선분 $B_1C_1$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_1$이라 하자.

정삼각형 $AB_2C_2$에서 선분 $AB_2$와 선분 $AC_2$를 $2:1$로 내분하는 점을 각각 $B_3$, $C_3$이라 하고, 선분 $B_3C_3$을 지름으로 하는 원의 호 $B_3C_3$과 선분 $B_2C_2$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\sum_{n=1}^{\infty}S_n$의 값은? [3점]