원과 지수함수

두 자연수 $a$$\left(a>1\right)$, $b$에 대하여 곡선 $y=a^{\tfrac14\left(x+b\right)}$와 직선 $y=x$ 위의 점 $\mathrm P$를 중심으로 하는 원 $C$가 있다. 곡선과 원 $C$가 만나는 두 점을 $x$좌표가 작은 순서대로 $\mathrm A$, $\mathrm B$라 하고, 원 $C$와 직선 $y=x$의 교점 중 $x$좌표가 작은 점을 $\mathrm D$, 두 점 $\mathrm A$, $\mathrm B$를 지나는 직선과 $x$축의 교점을 $\mathrm E$, 원 $C$의 중심 $\mathrm P$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm H$라 하자. $\overline {\mathrm {AB}}=2\overline {\mathrm {DP}}=2\overline {\mathrm {HP}}$이고, 두 삼각형 ${\mathrm {PEO}}$, ${\mathrm {POH}}$의 넓이의 비가 $1:3$일 때, $a+b$의 값은? (단, $\mathrm O$는 원점이다.)