2020학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 18번

그림과 같이 한 변의 길이가 $8$인 정삼각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1$의 세 선분 $\mathrm A_1\mathrm B_1$, $\mathrm B_1\mathrm C_1$, $\mathrm C_1\mathrm A_1$의 중점을 각각 $\mathrm D_1$, $\mathrm E_1$, $\mathrm F_1$이라 하고, 세 선분 $\mathrm A_1\mathrm D_1$, $\mathrm B_1\mathrm E_1$, $\mathrm C_1\mathrm F_1$의 중점을 각각 $\mathrm G_1$, $\mathrm H_1$, $\mathrm I_1$이라 하고, 세 선분 $\mathrm G_1\mathrm D_1$, $\mathrm H_1\mathrm E_1$, $\mathrm I_1\mathrm F_1$의 중점을 각각 $\mathrm A_2$, $\mathrm B_2$, $\mathrm C_2$라 하자. 세 사각형 $\mathrm A_2\mathrm C_2\mathrm F_1\mathrm G_1$, $\mathrm B_2\mathrm A_2\mathrm D_1\mathrm H_1$, $\mathrm C_2\mathrm B_2\mathrm E_1\mathrm I_1$에 모두 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 삼각형 $\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2$에 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 세 사각형 $\mathrm A_3\mathrm C_3\mathrm F_2\mathrm G_2$, $\mathrm B_3\mathrm A_3\mathrm D_2\mathrm H_2$, $\mathrm C_3\mathrm B_3\mathrm E_2\mathrm I_2$에 모두 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]