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좌표평면 위의 네 점
An(n,0), Bn(2n,n), Cn(n,2n), Dn(0,n)\mathrm A_n(n,0),\ \mathrm B_n(2n,n),\ \mathrm C_n(n,2n),\ \mathrm D_n(0,n)An(n,0), Bn(2n,n), Cn(n,2n), Dn(0,n)을 연결한 사각형과 원 x2+y2=12n2x^2+y^2=\frac12n^2x2+y2=21n2이 있다. 그림과 같이 사각형 AnBnCnDn\mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n\mathrm D_nAnBnCnDn이 변 AnDn‾\overline{\mathrm A_n\mathrm D_n}AnDn의 중점에서 원에 접하며 원을 따라 한 바퀴 움직일 때, 사각형 AnBnCnDn\mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n\mathrm D_nAnBnCnDn이 지나간 부분의 넓이를 ana_nan이라 하자.
이 때, limn→∞10πn3∑k=1nak\lim\limits_{n\to\infty}\frac{10}{\pi n^3}\sum\limits_{k=1}^n a_kn→∞limπn310k=1∑nak의 값을 구하시오. [4점]
