2013학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 A형 12번

추진제를 연소하여 가스가 분사됨에 따라 로켓의 질량은 감소하고, 로켓의 속력은 증가한다.

질량이 $m_0$($\mathrm{ton}$), 속력이 $v_0$($\mathrm{km}$/초)인 로켓이 비행하는 동안 질량이 $m$($\mathrm{ton}$), 속력이 $v$($\mathrm{km}$/초)로 변할 때, 다음 식이 성립한다고 한다.

(단, $k$는 상수, $\alpha$는 로켓에서 본 분사 가스의 속력을 나타내는 상수이고 단위는 $\mathrm{km}$/초이다.)

질량이 $200$($\mathrm{ton}$), 속력이 $2$($\mathrm{km}$/초)인 로켓이 비행하는 동안 질량이 $160$($\mathrm{ton}$), 속력이 $2.5$($\mathrm{km}$/초)로 변하였고,

이후 질량이 $a$($\mathrm{ton}$), 속력이 $3$($\mathrm{km}$/초)으로 변하였다.

이때, $a$의 값은? (단, 로켓은 직선 궤도를 따라 비행하고 로켓에는 가스 분사로 인한 힘만 작용한다.) [3점]