초록띠 5기출문제

2021학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 19번

다음은 수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여

\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{n+1}\right)a_k=n^2

을 만족시킬 때, $\sum_{k=1}^n a_k$ 를 구하는 과정이다.

$T_n=\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{n+1}\right)a_k$ 라 하자.

(ⅰ) $T_1=1$ 이므로 $a_1=\boxed{\text{(가)}}$ 이다.

(ⅱ) $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여

$T_n=n^2$ 에서

$T_n-T_{n-1}=2n-1$ 이고

T_n=\sum_{k=1}^n\frac{a_k}k-\frac1{\boxed{\text{(나)}}}\times\sum_{k=1}^n a_k

에서

T_n-T_{n-1}=\frac1{\boxed{\text{(다)}}}\times\sum_{k=1}^n a_k

이므로

\sum_{k=1}^n a_k=(2n-1)\times\left(\boxed{\text{(다)}}\right)

이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여

\sum_{k=1}^n a_k=(2n-1)\times\left(\boxed{\text{(다)}}\right)

이다.

(가)에 알맞은 수를 $p$ , (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(n)$ , $g(n)$ 이라 할 때, $f(2p)\times g(3p)$ 의 값은? [4점]

정답률 –풀이 수 –정답 시 +10 Rating

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