허근으로 만든 수열과 이웃한 항의 최대공약수

방정식 $x^3=1$의 한 허근 $\omega$와 자연수 $n$에 대하여

이라 하자. $d_n$은 $a_n$과 $a_{n+1}$의 최대공약수이다. $p$, $q$, $b_1,\,b_2,\,\cdots$을 다음과 같이 정의한다.

자연수 $k$에 대하여 $c_k=\dfrac{a_{b_k}}{d_{b_k}}$라 하자. $c_k$가 $qk+p$의 배수인 모든 자연수 $k$에 대하여 $\dfrac{c_k}{qk+p}$의 합을 구하시오.