2016학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 27번

그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 넓이가 $27$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있고, 평면 $\beta$ 위에 넓이가 $35$인 삼각형 $\mathrm{ABD}$가 있다. 선분 $\mathrm{BC}$를 $1:2$로 내분하는 점을 $\mathrm P$라 하고 선분 $\mathrm{AP}$를 $2:1$로 내분하는 점을 $\mathrm Q$라 하자. 점 $\mathrm D$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $\mathrm H$라 하면 점 $\mathrm Q$는 선분 $\mathrm{BH}$의 중점이다. 두 평면 $\alpha$, $\beta$가 이루는 각을 $\theta$라 할 때, $\cos\theta=\frac qp$이다. $p+q$의 값을 구하시오.

(단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]