2026학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수학 영역 미적분 27번

그림과 같이 길이가 $2$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원의 호 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\angle \mathrm{BAP}=\theta\left(\dfrac{\pi}{4}<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)$라 하고, 점 $\mathrm{P}$를 지나고 선분 $\mathrm{AB}$에 평행한 직선이 호 $\mathrm{AB}$와 만나는 점 중 $\mathrm{P}$가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 사각형 $\mathrm{ABQP}$의 넓이를 $f\left(\theta\right)$라 하고, $\overline{\mathrm{AP}}:\overline{\mathrm{BP}}=1:3$이 되도록 하는 $\theta$의 값을 $a$라 할 때, $f'\left(a\right)$의 값은? [3점]