2007학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수리 영역 나형 14번

그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정사각형을 넓이가 같은 4개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가 1인 사분원 2개의 외부(어두운 부분)를 잘라낸 후 남은 도형을 $T_1$이라 하자.

$T_1$에서 한 변의 길이가 1인 정사각형 2개를 각각 넓이가 같은 4개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가 $\dfrac12$인 사분원 4개의 외부(어두운 부분)를 잘라낸 후 남은 도형을 $T_2$라 하자.

$T_2$에서 한 변의 길이가 $\dfrac12$인 정사각형 4개를 각각 넓이가 같은 4개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가 $\dfrac14$인 사분원 8개의 외부(어두운 부분)를 잘라낸 후 남은 도형을 $T_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 도형을 $T_n$이라 하고 그 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]