2013학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 B형 21번

그림과 같이 길이가 $2$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원 위에 점 $\mathrm P$가 있다. 점 $\mathrm B$를 지나고 선분 $\mathrm{AB}$에 수직인 직선이 직선 $\mathrm{AP}$와 만나는 점을 $\mathrm Q$라 하고, 점 $\mathrm P$에서 이 반원에 접하는 직선과 선분 $\mathrm{BQ}$가 만나는 점을 $\mathrm R$라 하자. $\angle\mathrm{PAB}=\theta$라 하고 삼각형 $\mathrm{PRQ}$의 넓이를 $S(\theta)$라 할 때, $\lim\limits_{\theta\to+0}\frac{S(\theta)}{\theta^3}$의 값은? $\left(\text{단, }0<\theta<\frac\pi4\text{이다.}\right)$ [4점]