2006학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 16번

<증명>

(i) $n=1$일 때 $\frac{1^3}6+\frac{1^2}2+\frac13=1$

(ii) $n=k\ (k\ge1)$일 때 $\frac{k^3}6+\frac{k^2}2+\frac k3$가 자연수라고 가정하자.

에서 $\frac{k^3}6+\frac{k^2}2+\frac k3$가 자연수이고

$\boxed{\text{(가)}}$는(은) $\boxed{\text{(나)}}$의 배수이므로

$\frac{(k+1)^3}6+\frac{(k+1)^2}2+\frac{k+1}3$은 자연수이다.

따라서 $n=k+1$일 때에도 성립한다.

(i), (ii)에 의해 모든 자연수 $n$에 대하여

$\frac{n^3}6+\frac{n^2}2+\frac n3$은 자연수이다.